Halbgruppe

Halbgruppe,

 

assoziatives Gruppoid, Monoid, eine mit (H, °) bezeichnete algebraische Struktur, die aus einer Menge H von Elementen gebildet wird, für die eine assoziative zweistellige Verknüpfung (°) definiert ist; für beliebige Elemente a, b ∈ H existiert in einer Halbgruppe also stets genau ein zur Menge H gehörendes Element d mit a ° b = d; außerdem gilt zusammen mit einem beliebigen Element c ∈ H das Assoziativgesetz (a ° b) ° c = a ° (b ° c). Existiert in (H, °) ein Element e derart, dass für alle a ∈ H gilt: a ° e = e ° a = a, so bezeichnet man (H, °) als eine Halbgruppe mit Einselement e. Eine Teilmenge G der Menge H wird dann als Erzeugendensystem bezeichnet, wenn e nicht zu G gehört und sich jedes Element a ∈ H in der Form a = a₁ ° a₂ °. .. ° a_n darstellen lässt, wobei die a₁, a₂,. .., a_n Elemente aus G sind. - Die Menge der positiven ganzen Zahlen bildet z. B. in Bezug auf die Multiplikation eine Halbgruppe mit Einselement; die Menge der Primzahlen bildet ein Erzeugendensystem dieser Halbgruppe, da sich jede Zahl in Primfaktoren zerlegen lässt. - Die Theorie der Halbgruppe ist u. a. von großer Bedeutung für die Semiotik formalisierter Wissenschaftssprachen, für die Automatentheorie sowie für die Funktionalanalysis.